Da VITTORIO MARCHIS, Storia delle macchine, Edizioni Laterza, Torino 2010, p. 53:

"Le catapulte che sfruttano l'energia elastica immagazzinata in un arco flessibile sono adatte solamente al lancio di frecce o di piccoli proietti. La reale innovazione si verifica allorché all'arco si sostituiscono due molle di torsione, costituite da due fasci di tendini di animale in cui si  impegnano i bracci d'arco rigidi. La catapulta, o ballista, che può arrivare a dimensioni ragguardevoli e altezze sino a 6-7 m, diventa uno strumento capace di lanciare proietti della massa di un talento (26 kg). L'arco è teso con l'aiuto di un verricello e di un arpionismo di fermo. La macchina è dotata di un meccanismo di sgancio automatico."

Ma che cosa si intende esattamente per energia elastica?

Partiamo da un concetto fondamentale: tutti i corpi - tutti - sottoposti a forze, si deformano. 

Chiamiamo x lo spostamento dalla posizione di equilibrio di un corpo che si deforma. Tale spostamento viene misurato mediante una molla, la quale esercita una forza elastica (vettoriale) direttamente proporzionale a x:

F = -kx

dove k è la costante di elasticità.

Un punto materiale sottoposto ad una forza elastica, viene detto "oscillatore armonico".

L'energia elastica è - invece - l'energia legata alla deformazione elastica di un corpo: quando comprimo una molla, il lavoro (forza*spostamento) che compio si traduce in energia elastica nella molla. 

Da ciò si deduce facilmente che l'energia elastica E è data da:

 

"Sembra che Archimede, pur disprezzando la matematica applicata, aveva tuttavia ceduto, in tempo di pace, alle continue richieste di Ierone e aveva dimostrato, con grande soddisfazione del tiranno, che la matematica può, all'occasione, diventare terribilmente pratica. [...] Aveva applicato le sue leggi delle leve e delle pulegge alla manovra di un battello caricato pesantemente, che fu in grado di varare da solo. Ricordandosi di questa cosa nel momento in cui le nubi della guerra si stavano addensando nel cielo di Siracusa, Ierone pregò Archimede di preparare a Marcello un'accoglienza degna di lui. [...] La tartaruga a forma di arpa montata su otto quinqueremi non durò molto più della fama dell'orgoglioso Marcello: dalle super catapulte di Archimede vennero lanciati una serie di blocchi di pietra [..] delle specie di gru dalle mascelle di ferro passavano sopra le mura della città e afferravano i vascelli in avvicinamento, li facevano girar e li affondavano o li gettavano contro gli scogli vicini."

Da ERIC T. BELL, I grandi matematici, BUR Rizzoli, Milano 2011, p. 67.

Nella Storia della Tecnologia e nel mondo della guerra, le leve hanno da subito avuto un'importante applicazione nel trabucco (leva svantaggiosa di primo genere) e nella catapulta.

Da wikipedia:

Il braccio, ottenuto con lo sfrondamento di un tronco d'albero diritto, è montato asimmetricamente su un perno orizzontale nel punto in cui incontra le struttura di sostegno (il fulcro), in maniera tale che il braccio potenza della leva, ovvero l'estremità più robusta e pesante si trovi a poca distanza dal perno, mentre la parte che termina con la cima dell'albero, cioè il braccio resistenza sia molto più lunga. All'estremità più breve veniva imperniato un cassone o un grande cesto, riempito di macigni o altro materiale abbastanza pesante da fungere da contrappeso.

La spiegazione del funzionamento tecnico dell'arma - a chi possa interessare - si trova al seguente indirizzo.

"Datemi un punto d'appoggio e vi solleverò il mondo" (Archimede).

Questa celebre frase di Archimede è emblema di un concetto fisico molto importante: la leva. 

Guidobaldo Del Monte (1545 - 1607) collocò la leva - insieme a vite, paranco, cuneo e ruota - tra le macchine semplici che sono alla base della meccanica.

Riporto la definizione di leva di wikipedia:

Una leva è una macchina semplice che trasforma il movimento ed è un'applicazione del principio di equilibrio dei momenti.

Una leva è composta da due bracci solidali fra loro, cioè che ruotano nello stesso angolo, con la stessa velocità angolare e sono incernierati per un'estremità ad un fulcro, attorno al quale sono liberi di ruotare.

I bracci di una leva sono anche indicati con i termini di braccio-potenza (P) e braccio-resistenza (R); il primo è il braccio al quale bisogna applicare una forza per equilibrare la forza resistente applicata all'altro braccio.

Date due forze F1 e F2, rispettivamente applicate ai bracci b1 e b2 della leva, si ha che i momenti
meccanici applicati alla leva devono essere uguali, se si vuole che la leva sia in equilibrio. Quindi:

da cui si ha che il braccio e la forza sono inversamente proporzionali.

Le leve sono suddivise in:

• vantaggiose (braccio potenza maggiore del braccio resistenza);
• indifferenti (braccio potenza = braccio resistenza);
• svantaggiose (braccio resistenza maggiore del braccio potenza);

e poi in:

• leve di primo genere (il fulcro è più vicino ad una forza);
• leve di secondo genere (sempre vantaggiose, perchè la resistenza si interpone tra il fulcro e la potenza);
• leve di terzo genere (la potenza è interposta tra il fulcro e la resistenza).